题目内容
【题目】对于数列
， 
， 
， 
，若满足
，则称数列
为“
数列”．
若存在一个正整数
，若数列
中存在连续的
项和该数列中另一个连续的
项恰好按次序对应相等，则称数列
是“
阶可重复数列”，
例如数列
因为
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
按次序对应相等，所以数列
是“
阶可重复数列”．
（I）分别判断下列数列
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
．是否是“
阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这
项；
（II）若项数为
的数列
一定是 “
阶可重复数列”，则
的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列
不是“
阶可重复数列”，若在其最后一项
后再添加一项
或
，均可 使新数列是“
阶可重复数列”，且
，求数列
的最后一项
的值．
【答案】（I）
；（Ⅱ） 
的最小值是
；（III）
.
【解析】试题分析：（I）根据条件及给出的新定义判断；（II）结合所给出的新定义，分类讨论可得结果；（III）用反证法进行推理，可得而
。
试题解析：
（I）
（Ⅱ）因为数列
的每一项只可以是
或
，所以连续
项共有
种不同的情形．
若
，则数列
中有
组连续
项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为
的数列
一定是“
阶可重复数列”；
若
，数列
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
不是“
阶可重复数列”；则
时，均存在不是“
阶可重复数列”的数列
．
所以要使数列
一定是“
阶可重复数列”，则
的最小值是
．
（III）由于数列
在其最后一项
后再添加一项
或
，均可使新数列是“
阶可重复数列”，即在数列
的末项
后再添加一项
或
，
则存在
，使得
， 
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
， 
按次序对应相等，或
， 
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
， 
按次序对应相等，如果
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
不能按次序对应相等，
那么必有
， 
， 
，使得
， 
， 
， 
、
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
按次序对应相等．
此时考虑
， 
和
，其中必有两个相同，这就导致数列
中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列
是“
阶可重复数列”，这和题设中数列
不是“
阶可重复数列”矛盾！
所以
， 
， 
， 
与
， 
， 
， 
按次序对应相等，从而
．
