题目内容

12.已知数列{an}满足a1=2,且an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$,求数列{an}的通项公式.

分析 依题意,可得an-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),继而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项,1为公差的等差数列,从而可求得数列{an}的通项公式.

解答 解:∵a1=2,且an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$,
∴an-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),
即$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1(n≥2),
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项,1为公差的等差数列.
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+(n-1)×1=n,
∴an-1=$\frac{1}{n}$,
∴an=$\frac{n+1}{n}$.

点评 本题考查数列递推关系式的应用,求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项,1为公差的等差数列是关键,考查等价转化思想与运算求解能力,属于难题.

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