Question

5．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，l）在椭圆Γ上．
（I）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k≠0时，若直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\sqrt{2}$）与椭圆Γ的交点分别为A，B和C，D，记四边形ACBD的面积为S₁．
①求S₁关于k的表达式；
②若直线l₃：$\sqrt{2}$kx-y+k=0，l₄：$\sqrt{2}$x+ky+1=0与圆E：x²+y²=1的交点分别为M，N和P，Q，记四边形MNPQ的面积为S₂，试判断$\frac{S_1}{S_2}$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明．

Answer 1

分析 （I）由b=c，椭圆Γ的标准方程可表示为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，把点（c，l）代入椭圆方程解得c²=2，b²=2，a²=4，可得椭圆Γ的标准方程；
（II）①由直线方程可得l₁⊥l₂，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把y=k$（x+\sqrt{2}）$与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²+$4\sqrt{2}{k}^{2}$x+4k²-4=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，用-$\frac{1}{k}$代替k，可得|CD|，可得S₁=$\frac{1}{2}|AB||CD|$=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$．
②设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），不妨设x₃＞x₄，直线l₃的方程与圆的方程联立化为$（2+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{2}x+1-{k}^{2}=0$，利用根与系数的关系可得|MN|=$\sqrt{（1+\frac{2}{{k}^{2}}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$，同理可得|PQ|．设直线MN与PQ的夹角为θ，则tanθ=$\sqrt{2}k+\frac{\sqrt{2}}{k}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$．可得S₂=$\frac{1}{2}|MN||PQ|sinθ$．可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$．

解答 解：（I）∵b=c，∴椭圆Γ的标准方程可表示为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
把点（c，l）代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}=1$，解得c²=2，∴b²=2，a²=4，
∴椭圆Γ的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（II）①由直线方程可得l₁⊥l₂，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²+$4\sqrt{2}{k}^{2}$x+4k²-4=0，△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，用-$\frac{1}{k}$代替k，可得|CD|=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}|AB||CD|$=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$．
②联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}kx-y+k=0}\\{\sqrt{2}x+ky+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），不妨设x₃＞x₄，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+ky+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为$（2+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{2}x+1-{k}^{2}=0$，
∴x₃+x₄═$\frac{-2\sqrt{2}}{2+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{1-{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+\frac{2}{{k}^{2}}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{2+{k}^{2}}}$，同理可得|PQ|=$2\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{1+2{k}^{2}}}$．
设直线MN与PQ的夹角为θ，则tanθ=$\sqrt{2}k+\frac{\sqrt{2}}{k}$，
sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{\frac{2{k}^{4}+4{k}^{2}+2}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}}$．
∴S₂=$\frac{1}{2}|MN||PQ|sinθ$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{2+{k}^{2}}}$×$2\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{1+2{k}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{2{k}^{4}+4{k}^{2}+2}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}}$=2×$\frac{\sqrt{2}（1+{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）（{k}^{2}+2）}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2$\sqrt{2}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、弦长公式、四边形的面积计算公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．