题目内容
【题目】函数g(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xg(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
【答案】D
【解析】解:构造函数F(x)= ,则F(x)为偶函数且x≠0, 求导数可得F′(x)=
=
,
∵当x>0时,xg(x)﹣f(x)<0,∴F′(x)<0,
∴函数F(x)在(0,+∞)单调递减,
由函数为偶函数可得F(x)在(﹣∞,0)单调递增,
由f(1)=0可得F(1)=0,
∴f(x)<0等价于xF(x)<0
等价于 或
,
解得x∈(1﹣,0)∪(1,+∞)
故选:D

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