题目内容
【题目】设函数,
,其中
为实数.
(1)若在
上是单调减函数,且
在
上有最小值,求
的取值范围;
(2)若在
上是单调增函数,试求
的零点个数,并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)当或
时,
的零点个数为1;当
时,
的零点个数为2.
【解析】
(1)∵,考虑到函数
的定义域为
,故
,进而解得
,即
在
上是单调减函数. 同理,
在
上是单调增函数.
由于在
是单调减函数,故
,从而
,即
.
令,得
,当
时,
;当
时,
,
又在
上有最小值,所以
,即
,
综上所述,.
(2)当时,
必是单调增函数;当
时,令
,
解得,即
,
∵在
上是单调函数,类似(1)有
,即
,
综合上述两种情况,有.
①当时,由
以及
,得
存在唯一的零点;
②当时,由于
,
,且函数
在
上的图象不间断,∴
在
是单调增函数,∴
在
上存在零点. 另外,当
时,
,则
在
上是单调增函数,
只有一个零点.
③当时,令
,解得
.
当时,
;当
时,
. ∴
是
的最大值点,且最大值为
.
1)当,即
时,
有一个零点
.
2)当,即
时,
有两个零点. 实际上,对于
,由于
,
,且函数
在
上的图象不间断,∴
在
上存在零点.
另外,当时,
,故
在
上是单调增函数,∴
在
上有一个零点.
下面需要考虑在
上的情况,先证
,
为此,我们要证明:当时,
,设
,则
,再设
,则
.
当时,
,∴
在
上是单调增函数,
故当时,
,从而
在
上是单调增函数,进而当
时,
,即当
时,
.
当,即
时,
,又
,且函数
在的图象不间断,∴
在
上存在零点.
又当时,
,故
在
是单调减函数,所以,
在
上只有一个零点.
综上所述,当或
时,
的零点个数为1;当
时,
的零点个数为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2018年6月14日,世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕,世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如图频率分布表:将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。
消费金额/万卢布 | 合计 | ||||||
顾客人数 | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表;
(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”,“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。