题目内容
【题目】如图，在三棱台
中，
，.若点
为
的中点，点
为
靠近点
的四等分点.
（1）求证：
平面
；
（2）若三棱台的体积为
，求三棱锥
的体积.
注：台体体积公式：
，或在
分别为台体上下底面积，
为台体的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连接
，可得
∥
，再由已知可证四边形
为平行四边形，得
∥，进而有∥，即可证明结论；
（2）根据已知可得三棱台的高为
，可得
平面
，再结合已知可证
平面
，应用
，即可求解.
（1）如图3，取的中点，连接.
在
中，由
为中点，有∥.
由棱台的性质知
∥，
与
相似，
且
，则有
，
所以有
∥
，
所以四边形为平行四边形，
则∥，所以∥，又
平面
，
平面，所以∥平面.
（2）设三棱台
的高为
，
，
则体积
，则
，故平面.
由
，
，
，所以平面.
，
为
中点，
，
所以
.
【题目】某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：
年入流量 |
|
|
一台未运行发电机年维护费 | 500 | 800 |
欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？
【题目】2018年3月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》，4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018-2020年）》，提出到2020年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．
（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的
，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的
，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？
附
，
，
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（2）某垃圾站的日垃圾分拣量
（千克）与垃圾分类志愿者人数
（人）满足回归直线方程
，数据统计如下：
志愿者人数 | 2 | 3 | 4 | 6 | |
日垃圾分拣量 | 25 | 30 | 40 | 45 |
|
已知
，
，
，根据所给数据求
和回归直线方程，附：
，
．
（3）用（2）中所求的线性回归方程得到与
对应的日垃圾分拣量的估计值
．当分拣数据
与估计值满足
时，则将分拣数据
称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记
表示取得“正常数据”的个数，求的分布列和数学期望．