题目内容
已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+x2=64相内切
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;
(2)设直线l: y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;
(2)设直线l: y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
解:(1)圆M:(x-2)2+x2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R="8. "
∵|AM|=4<R,∴点A(-2,0)在圆M内,
设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得r= |CA|,且|CM|=R-r,
即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为(a>b>0),则a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=12,
∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.…5分
(2)由消去y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.
△1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0. ① ……7分
由消去y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,
设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=.
△2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即x1+x2= x3+x4,
∴,∴2km=0或,
解得k=0或m=0, ……12分
当k=0时,由①、②得,
∵m∈Z,∴m的值为-3,-2,-1,0,1,2,3;
当m=0时,由①、②得,∵k∈Z,∴k=-1,0,1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
∵|AM|=4<R,∴点A(-2,0)在圆M内,
设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得r= |CA|,且|CM|=R-r,
即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为(a>b>0),则a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=12,
∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.…5分
(2)由消去y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.
△1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0. ① ……7分
由消去y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,
设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3+x4=.
△2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即x1+x2= x3+x4,
∴,∴2km=0或,
解得k=0或m=0, ……12分
当k=0时,由①、②得,
∵m∈Z,∴m的值为-3,-2,-1,0,1,2,3;
当m=0时,由①、②得,∵k∈Z,∴k=-1,0,1.
∴满足条件的直线共有9条. ……14分
略
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