题目内容
(本小题满分12分)
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线与抛物线C交于、两点,且,求的值;
(3)设点是抛物线C上的动点,点、在轴上,圆内切于,求的面积最小值.
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线与抛物线C交于、两点,且,求的值;
(3)设点是抛物线C上的动点,点、在轴上,圆内切于,求的面积最小值.
解:(1)设抛物线C的方程为
由,即,
所以抛物线C的方程为…………4分
(2)设,由
得故
即 ①
又由得
故 ②
③
解①②③构成的方程组得
又由,即,所求得的适合,
因此所求得的的值为…………9分
(3)设,且
直线PR的方程为
圆内切于,
由则圆心(1,0)到直线PR的距离为1,
化简得
同理可得
由于,所以为方程的两根,
,,
,
当且仅当时取等号,
所以的面积最小值为. …(15分)
由,即,
所以抛物线C的方程为…………4分
(2)设,由
得故
即 ①
又由得
故 ②
③
解①②③构成的方程组得
又由,即,所求得的适合,
因此所求得的的值为…………9分
(3)设,且
直线PR的方程为
圆内切于,
由则圆心(1,0)到直线PR的距离为1,
化简得
同理可得
由于,所以为方程的两根,
,,
,
当且仅当时取等号,
所以的面积最小值为. …(15分)
略
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