题目内容
【题目】如图,三棱锥中,平面平面,,,点,分别是棱,的中点,点是的重心.
(1)证明:平面;
(2)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)根据三角形重心性质可得,根据三角形中位线性质得,再根据线面平行判定定理得平面,平面,最后根据面面平行判定定理以及性质得结果;
(2)先根据面面垂直性质定理得平面,确定与平面所成的角,再根据条件建立空间直角坐标系,求出各点坐标,利用向量数量积得各面法向量,最后根据向量夹角公式得法向量夹角,即得二面角所成角.
(1)连接,连接并延长交于点,则点为的中点,
从而点,,分别是棱,,的中点,
∴,.
又,平面,,平面,
∴平面,平面.
又,平面,,
∴平面平面,
又平面,
∴平面.
(2)连接,∵,是的中点,∴,
∵平面平面,平面平面,
平面,平面.
连接并延长交于点,则为的中点,
连接,则,∴平面.
∴为与平面所成的角,即.
在中,设,则,,∴,.
∴,,,
∴,即,
如图建立空间直角坐标系,
则,,.
∴,,
设平面的一个法向量为,
则,可取,
又平面的一个法向量为,
则,
所以二面角的余弦值为.
【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,.
用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布,则,,.