题目内容

19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{x+2y≤8}\\{3x+y≤9}\end{array}\right.$，则z=2x+3y的最大值是13．

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，
平移直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，由图象可知当直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$经过点B时，
直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=8}\\{3x+y=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即B（2，3）．
此时z的最大值为z=2×2+3×3=13，
故答案为：13．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

练习册系列答案
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