题目内容
14.已知函数f(x)=2sin($\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$),x∈R(1)求$f({\frac{5π}{4}})$的值;
(2)设0≤β≤$\frac{π}{2}$≤α≤π,$f({3α+\frac{π}{2}})=\frac{10}{13}$,f(3β+2π)=$\frac{6}{5}$,求cos(α+β)的值.
分析 (1)代值计算可得答案;
(2)由题意和同角三角函数的基本关系可得sinα和cosβ的值,进而由两角和的余弦公式可得.
解答 解:(1)由题意可得$f({\frac{5π}{4}})$=2sin($\frac{1}{3}$×$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{6}$)=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$;
(2)∵0≤β≤$\frac{π}{2}$≤α≤π,$f({3α+\frac{π}{2}})=\frac{10}{13}$,f(3β+2π)=$\frac{6}{5}$,
∴f(3α+$\frac{π}{2}$)=2sin(α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$)=2sinα=$\frac{10}{13}$,∴sinα=$\frac{5}{13}$,
f(3β+2π)=2sin(β+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$)=2cosβ=$\frac{6}{5}$,∴cosβ=$\frac{3}{5}$,
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{12}{13}$,sinβ=$\frac{4}{5}$,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=$-\frac{12}{13}×\frac{3}{5}-\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{56}{65}$.
点评 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题.
练习册系列答案
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