Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n ，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=2x+1上，数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}-1}{3}$+$\frac{{b}_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在常数p（p≠-1），使数列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是等比数列？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）代入直线y=2x+1方程，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（2）由（1）及当n≥2时利用$\frac{{b}_{1}-1}{3}$+$\frac{{b}_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n与$\frac{{b}_{1}-1}{3}$+$\frac{{b}_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}-1}{{3}^{n-1}}$=a_n-1作差，计算可得数列{b_n}的通项公式，进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=$\frac{3}{3+p}$，当n≥2时$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2•$\frac{{3}^{n}-\frac{3}{2}}{{3}^{n}+p}$，通过令p=-$\frac{3}{2}$比较即得结论．

解答 解：（1）∵点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=2x+1上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n+1，即S_n=2n²+n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
又∵a₁=2+1=3满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4n-1；
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}-1}{3}$+$\frac{{b}_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n（n∈N^*），
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n-a_n-1=4，
∴b_n=1+4•3ⁿ，
又∵$\frac{{b}_{1}-1}{3}$=3即b₁=10不满足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{10，}&{n=1}\\{1+4•{3}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10，}&{n=1}\\{-9+n+2•{3}^{n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（3）结论：存在常数p=-$\frac{3}{2}$，使数列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是等比数列．
理由如下：
由（2）可知$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=$\frac{3}{3+p}$，
当n≥2时，$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2•$\frac{{3}^{n}-\frac{3}{2}}{{3}^{n}+p}$，
令p=-$\frac{3}{2}$，则$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2（n≥2），此时$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=2，
∴数列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是常数项，即为公比为1的等比数列．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．