Question

(本小题满分14分)

已知函数的减区间是．

⑴试求、的值；

⑵求过点且与曲线相切的切线方程；

⑶过点是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：⑴ 由题意知：的解集为，

 所以，-2和2为方程的根……2分

                     

由韦达定理知，即m=1，n=0． ……4分

⑵ ∵，∴，∵

当A为切点时，切线的斜率 ，

∴切线为，

即； ……6分

当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，

切线方程为，即   

因为过点A（1，-11），  ，∴，

∴ 或，而为A点，即另一个切点为，

∴ ，

切线方程为 ，即 ………………8分

所以，过点的切线为或． …9分

⑶ 存在满足条件的三条切线．                                  

设点是曲线的切点，

则在P点处的切线的方程为  即

因为其过点A（1，t），所以，，   

由于有三条切线，所以方程应有3个实根，         ……………11分

设，只要使曲线有3个零点即可．

因为 =0， ∴ ，

当时，在和 上单增，

当时，在上单减，

所以，为极大值点，为极小值点.

所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，

解得   .                                ………14分