Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），离心率为

2

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率的定义求出a，利用椭圆中三个参数的关系求出b²=1，写出椭圆的方程．
（2）欲求点G横坐标的取值范围，从函数思想的角度考虑，先将其表示成某一变量的函数，后求函数的值域，这里取直线AB的斜率K为自变量，通过解方程组求得点G横坐标（用k表示），再求其取值范围．

解答：解：（1）因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），
所以c=1，
又因为离心率为

2

2

，
所以a=

2

所以b²=1
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则 x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分线NG的方程为 y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得 xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴点G横坐标的取值范围为 (-

1

2

，0)．

点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去x（或y），得到y（或x）的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等．