题目内容
【题目】如图，已知三棱锥A-BPC中，
，M为AB的中点，D为PB的中点，且
为正三角形.
（1）求证：
平面APC；
（2）若
，
，求三棱锥D-BCM的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）因为M为AB的中点，D为PB的中点，由中位线定理可得
，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意得
到平面BCD的距离为
的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.
（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，
所以MD是
的中位线，.
又
平面APC，
平面APC，
所以
平面APC.
（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，
，
，
又
，
平面PBC，
，
平面PBC，
平面PBC，
平面PBC，
，
又
，
平面PAC，
，
平面PAC，
平面PBC，
.
平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.
又因为
，M为AB的中点，
为正三角形，
所以
，
，
由
平面APC，可得
，
在直角三角形PCB中，由
，可得
.
于是
,
所以
.
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