题目内容
【题目】已知函数,其中
.
Ⅰ
当
时,
恒成立,求a的取值范围;
Ⅱ
设
是定义在
上的函数,在
内任取
个数
,
,
,
,
,设
,令
,
,如果存在一个常数
,使得
恒成立,则称函数
在区间
上的具有性质P.试判断函数
在区间
上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.
注:
【答案】Ⅰ
;
Ⅱ
具有,最小值为3
【解析】
Ⅰ
当
时,
恒成立,可转化为
恒成立,进而转化为函数最值问题解决;
Ⅱ
先研究函数
在区间
上的单调性,然后对
内的任意一个取数方法
,根据性质P的定义分两种情况讨论即可:①存在某一个整数
2,3,
,
,使得
时,②当对于任意的
1,2,3,
,
,
时,
,利用函数的单调性去绝对值,化简,求
的最小值.
Ⅰ
当
时,
恒成立,即
时,
恒成立,
因为,所以
恒成立,即
在区间
上恒成立,
所以,即
,
所以即a的取值范围是
.
Ⅱ
由已知
,可知
在
上单调递增,在
上单调递减,
对于内的任意一个取数方法
,
当存在某一个整数2,3,
,
,使得
时,
.
当对于任意的1,2,3,
,
,
时,则存在一个实数k使得
,
此时
,
当时,
式
,
当时,
式
,
当时,
式
.
综上,对于内的任意一个取数方法
,均有
.
所以存在常数,使
恒成立,
所以函数在区间
上具有性质P.
此时M的最小值为3.

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