题目内容
【题目】如图,MN分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,有以下结论:
①异面直线AC与BD所成的角为定值.
②存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
③存在某个位置,使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.
④三棱锥M-ACN体积的最大值为.
以上所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
设中点
,连接
,
,得到
平面
,从而可证①正确;假设
,从而得到
平面
,与已知矛盾,从而证明②错误,根据
,得到
与平面
所成的角等于
与平面
所成的角,即
,根据
的范围,从而证明③正确;
,从而得到体积最大的情况,求出最大值,可得④正确.
设中点
,连接
,
,
正方形,
,
,
所以,
,
平面
,
,
所以平面
,
而平面
,所以
,
即异面直线与
所成的角为定值
.
故①正确.
若,而
,
平面
,
所以平面
,
而平面
,所以
,
而中,
,
所以不可能为直角,故假设错误,
所以②错误.
因为分别是
的中点,所以
,
所以与平面
所成的角等于
与平面
所成的角,
在平面
的射影在
上,
所以是
与平面
所成的角,
而,所以一定存在某个位置满足
,
即存在某个位置,使得直线MN与平面所成的角为45°.
故③正确;
,底面
,
所以当平面平面
时,
到平面
的距离最大,
此时三棱锥的体积最大,
,
所以此时,
故④正确.
故答案为:①③④
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,并估计当
时,
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参考公式: ,
.