Question

已知数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=n(3-log2

|an|

3

)，探求使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

恒成立的m的最大整数值．

Answer 1

分析：（1）由a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n，知a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=9-6(n-1)，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=n(3-log2

|an|

3

)，当n=1时，b1=3，当n≥2时，bn=n(3-log2

1

2n-2

)=n[3-(-n+2)]=n(n+1)，从而得到bn=

3，n=1 n(n+1)，n≥2

，由此能求出求使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

恒成立的m的最大整数值．

解答：解：（1）∵a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n①
∴a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=9-6(n-1)②
①-②得：2^n-1a_n=-6，∴an=-

3

2n-2

当n=1时，由题设得a₁=3，
∴an=

3(n=1) - 3 2n-2 (n≥2)

（2）∵bn=n(3-log2

|an|

3

)，当n=1时，b1=3
当n≥2时，bn=n(3-log2

1

2n-2

)=n[3-(-n+2)]=n(n+1)，
∴bn=

3，n=1 n(n+1)，n≥2

，
设{

1

bn

}前n项和为S_n，
当n=1时，S₁=

1

3

＞

m-1

6

，得m＜3  ①
当n≥2时Sn=

n

i=1

1

bi

=

1

3

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

5

6

-

1

n+1

（n≥2）
S_n（n≥2）递增，其最小值为S2=

5

6

-

1

3

=

1

2

．要使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

（n≥2），
只须

1

2

＞

m-1

6

，即m＜4，②
综上m＜3，又∵m为整数，∴m的最大值为2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的最大值的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．