Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）（a_n+1），数列{b_n}的前n项为T_n，求满足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n，从而得到{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，由此求出a_n=2ⁿ-1．
（2）由b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2，由此能求出满足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-n（n∈N₊），
∴n=1时，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
S_n+1=2a_n+1-（n+1）
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n
∴a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁵+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
∴①-②，得：
-T_n=6+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∵

Tn-2

2n-1

≥2，
∴2ⁿ⁺¹≥2，
解得n≥0，
∴满足不等式

Tn-2

2n-1

≥2的最小的n的值为0．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小的n的值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．