Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．
（1）求证：AF⊥平面PDC；
（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF，

∵PA=AD，FP=FD

∴AF⊥PD

又∵CD∩PD=D

∴AF⊥平面PDC

（2）解：连接CF

由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影

∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角

∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC

在△ACF中，

∴

AF与平面PCD所成的角为30°

【解析】（1）由已知先证明CD⊥平面PAD，可得：CD⊥AF，结合AF⊥PD，可得AF⊥平面PDC；（2）连接CF，由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影，故∠ACF是AF与平面PCD所成的角，解得答案．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．