题目内容
【题目】已知直线与抛物线
:
交于
,
两点,且
的面积为16(
为坐标原点).
(1)求的方程;
(2)直线经过
的焦点
且
不与
轴垂直,与
交于
,
两点,若线段
的垂直平分线与
轴交于点
,证明:
为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)将代入抛物线方程求出
两点坐标,由三角形面积可求得
,得抛物线方程;
(2)直接设直线的方程为
,代入抛物线方程,设
,
,则可得
,由焦点弦长公式得
,同时可得
中点坐标,写出中垂线方程,求出
点坐标及
,然后求比值
可得.
(1)解:将代入
,得
,
所以的面积为
.
因为,所以
,
故的方程为
.
(2)证明:由题意设直线的方程为
,
由,得
.
设,
,则
,
所以.
因为线段的中点的横坐标为
,纵坐标为
,
所以线段的垂直平分线的方程为
,
令,得
,所以
的横坐标为
,
所以,
故为定值.

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