题目内容
【题目】已知,图中直棱柱的底面是菱形,其中
.又点
分别在棱
上运动,且满足:
,
.
(1)求证:四点共面,并证明
∥平面
.
(2)是否存在点使得二面角
的余弦值为
?如果存在,求出
的长;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)不存在点使之成立.见解析
【解析】
(1) 在线段上分别取点
,使得
,进而得到
与
即可.
(2) 以为原点,分别以
,及过
且与
平行的直线为
轴建立空间直角坐标系,再求解平面
的法向量与平面
的法向量,再设
,
,再根据二面角的计算方法分析是否存在
使得二面角为的余弦值为
即可.
解:(1)证法1:在线段上分别取点
,使得
,易知四边形
是平行四边形,所以
,联结
,
则,且
所以四边形为矩形,故
,同理,
且,故四边形
是平行四边形,所以
,所以
故四点共面
又,
平面
,
平面
,
所以平面
.
证法2:因为直棱柱的底面是菱形,∴
,
底面
,设
交点为
,以
为原点,分别以
,及过
且与
平行的直线为
轴建立空间直角坐标系.则有
,
,
,
,设
,
,则
,
,
,
,
,
,所以
,故
四点共面.又
,
平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)平面中向量
,
,设平面
的一个法向量为
,则
,可得其一个法向量为
.
平面中,
,
,设平面
的一个法向量为
,则
,所以取其一个法向量
.
若,则
,
即有,
,解得
,故不存在点
使之成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).
(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;
优分 | 非优分 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | 50 |
(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?
(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.