Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性即可；

（2）根据题意构造函数，将问题转化为求解该函数最大值的问题，进而利用导数研究其单调性求得结果即可.

（1）.

令，则，

当时，在上，，在上，，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时，在上，，在上，，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由，得，即.

设，则恒成立，即.

，

因为，则在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴.

存在，使得成立，则.

令，，

∴在上，，在上，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴.

∴的取值范围为.