题目内容
定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且当x∈(-1，1］时，f(x)=x2+2x.(1)求当x∈(3，5］时，f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在（3，5］上的增减性并证明.
(1)解析：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
设x∈（3，5］，则-1＜x-4≤1,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3＜x≤5).
(2)证明：∵f(x)=(x-3)2-1(3＜x≤5)，
∴函数f(x)在（3，5）上是增函数.
用定义：设3＜x1＜x2≤5,则f(x2)-f(x1)=x22-6x2+8-x12+6x1-8=(x2-x1)(x2+x1)-6(x2-x1)=(x2-x1)
(x1+x2-6),
∵x1＜x2,
∴x2-x1＞0,x1+x2-6＞3+3-6=0.
∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)为增函数.
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