Question

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点。如果函数f(x)=(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n·=1(S_n为数列前n项和)，求数列{a_n}的通项公式a_n；
(3)如果数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=f(a_n)，求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

解：(1)依题意有，化简得(1-b)x²+cx+a=0，
由韦达定理，得，解得，
代入表达式得，
由得c＜3，
又c∈N，b∈N，
若c=0，b=1，则f(x)=x，不满足题意，
∴c=2，b=2，
故。
(2)由题设得，得：， (*)
且a_n≠1，用n-1代n得：，(**)
(*)与(**)两式相减得：，
即，
∴或，
把n=1代入(*)得：，
解得a₁=0(舍去)或a₁=-1，
若，得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
∴a_n=-n。
(3)采用反证法，假设a_n≥3(n≥2)，则由(1)知，
∴，
即，有，
而当n=2时，，
∴a_n＜3，这与假设矛盾，故假设不成立，
∴a_n＜3。