对于函数f(x).若存在x0∈R.使f(x0)＝x0成立.则称x0为f(x)的不动点．如果函数 f(x)＝ax2+bx+1(a＞0)有两个相异的不动点x1.x2． ⑴若x1<1<x2.且f(x)的图象关于直线x＝m对称.求证:<m<1, ⑵若|x1|<2且|x1-x2|＝2.求b的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．如果函数

f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x₁，x₂．

⑴若x₁<1<x₂，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；

⑵若|x₁|<2且|x₁－x₂|＝2，求b的取值范围．

见解析

解析:

(Ⅰ)证明：g(x)＝f(x)－x＝ax²＋(b－1)x＋1?且a＞0 ∵x₁＜1＜x₂＜2

∴(x₁－1)(x₂－1)＜0即x₁x₂＜(x₁＋x₂)－1

于是

＞［(x₁＋x₂)－1］＝

又∵x₁＜1＜x₂＜2 ∴x₁x₂＞x₁于是有ｍ＝(x₁＋x₂)－x₁x₂＜(x₁＋x₂)－x₁＝x₂＜1 ∴＜m＜1

(Ⅱ)解：由方程＞0，∴x₁x₂同号

(ⅰ)若0＜x₁＜2则x₂－x₁＝2

∴x₂＝x₁＋2＞2 ∴g(2)＜0

即4a＋2b－1＜0 ①

又(x₂－x₁)²＝

∴，(∵a＞0)代入①式得

＜3－2b，解之得：b＜

(ⅱ)若－2＜x₁＜0，则x₂＝－2＋x₁＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0 ②

又代入②得＜2b－1解之得b＞

综上可知b的取值范围为

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