题目内容
【题目】在如图所示的多面体中， 
平面
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
是
的中点．
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 
．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知
， 
， 
两两垂直，以点
为坐标原点， 
， 
， 
分别为
轴，建立空间直角坐标系，由已知得
， 
， 
即证得
（Ⅱ）由已知得
是平面
的法向量，设平面
的法向量为
， 
计算得
令
，得
设平面
与平面
所成锐二面角的大小为
，则
通过计算即得结果.
试题解析：
（Ⅰ）∵
平面
， 
平面
， 
平面
，
∴
， 
．又
，
∴
， 
， 
两两垂直．
以点
为坐标原点， 
， 
， 
分别为
轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
∴
， 
．
∴
，∴
．
（Ⅱ）由已知得
是平面
的法向量，
设平面
的法向量为
，
∵
， 
，
∴
，即
，令
，得
，
设平面
与平面
所成锐二面角的大小为
，
则
．
∴平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
．
练习册系列答案
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表(如图所示)，解决下列问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50，60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60，70) | a | ■ |
第3组 | [70，80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80，90) | ■ | 0.08 |
第5组 | [90，100] | 2 | b |
合计 | ■ | ■ |
(1)求出a，b的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
