Question

【题目】设函数的定义域为，如果， ，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________．

Answer 1

【答案】③

【解析】原问题等价于对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使f(x1)+f(x2)=4成立的函数。

①y=x2,由f(x1)+f(x2)=4得,此时,当时,不存在满足题意的，故不满足条件；

②y=2x定义域为R,值域为y>0.对于x1=3,f(x1)=8.要使f(x1)+f(x2)=4成立,则f(x2)=4，不成立；

③y=lnx,定义域为x>0,值域为R且单调,由f(x1)+f(x2)=4得,此时,不存在满足题意的，故满足条件；

④,由f(x1)+f(x2)=4得,此时,当时,不存在满足题意的，故不满足条件；

综上可得：满足在其定义域上均值为2的函数是③.