Question

【题目】已知函数 .

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出时， 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；

（2）令，求得，令，求出导数，令，求出导数，求得单调性，可得的最大值，当时，，求出的单调性，由条件，即可得到的范围.

解:(1)当时， 的定义域为，

.

，

又，曲线在处的切线方程为.

(2)令，则 ，

即，令，

则 .

令，，

，在上是减函数，

又，所以当时， ，当时， ，

在上单调递增，在上单调递减，

.

当函数有且仅有一个零点时， .

当时， ，

若，恒成立，只需.

，令得或，

，

数在上单调递增，在上单调递

减，在上单调递增，又，

，

，

即，，

，即实数的取值范围为.