题目内容
【题目】已知点为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线
于点
,且
,圆
的方程是
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为
,求
的值;
(3)过圆上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
两点,
中点为
,
求证: .
【答案】(1) .
(2) .
(3)见解析.
【解析】
(1),根据
可得
,利用双曲线的定义可得
从而得到双曲线的方程.
(2)设点,利用渐近线的斜率可以得到
夹角的余弦为
,利用点在双曲线上又可得
为定值
,故可得
的值.
(3)设,切线
的方程为:
,证明
等价于证明
,也就是证明
,联立切线方程和双曲线方程,消元后利用韦达定理可以证明
.
(1)设的坐标分别为
,
因为点在双曲线
上,所以
,即
,所以
,
在中,
,
,所以
,
由双曲线的定义可知: ,
故双曲线的方程为:
.
(2)由条件可知:两条渐近线分别为;
.
设双曲线上的点
,
设的倾斜角为
,则
,又
,所以
,
故,
所以的夹角为
,且
.
点到两条渐近线的距离分别为
,
.
因为在双曲线
上,所以
,
所以
.
(3)由题意,即证: ,设
,
切线的方程为:
.
时,切线
的方程代入双曲线
中,化简得:
(
,
所以,
.
又
,
所以
.
时,易知上述结论也成立.所以
.
综上, ,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取
人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如右表,其中“
”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
继续教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病医疗 | × | × | × | ○ | × | × |
住房贷款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
赡养老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件
发生的概率.
【题目】今年的西部决赛勇士和火箭共进行了七场比赛,经历了残酷的“抢七”比赛,两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表:
第一场 | 第二场 | 第三场 | 第四场 | 第五场 | 第六场 | 第七场 | |
库里 | 26 | 28 | 24 | 22 | 31 | 29 | 36 |
杜兰特 | 26 | 29 | 33 | 26 | 40 | 29 | 27 |
(1)绘制两人得分的茎叶图;
(2)分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.