题目内容
20.已知圆O:x2+y2=2.(1)求与圆O相切且与直线x+2y=0垂直的直线方程;
(2)若EF,GH为圆O:x2+y2=2的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),求四边形EFGH的面积的最大值.
分析 (1)设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求得结论;
(2)设EF,GH相交于M,圆心O到EF,GH的距离分别为d1、d2,则d12+d22=OM2=$\frac{3}{2}$,代入面积公式SS=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|,使用基本不等式求出四边形EFGH的面积的最大值.
解答 解:(1)设直线方程为2x-y+c=0,则
圆心到直线的距离为$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}$,∴$c=\sqrt{10}$,
∴与圆O相切且与直线x+2y=0垂直的直线方程为2x-y±$\sqrt{10}$=0;
(2)设EF,GH相交于M,圆心O到EF,GH的距离分别为d1、d2,
则d12+d22=OM2=$\frac{3}{2}$.
四边形ABCD的面积为:S=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|=2$\sqrt{(2-{{d}_{1}}^{2})(2-{{d}_{2}}^{2})}$≤4-(d12+d22)=2.5,
当且仅当d12 =d22时取等号,即四边形EFGH的面积的最大值为2.5.
点评 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用,灵活运用两点间的距离公式化简求值,是一道中档题.解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算.
练习册系列答案
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A. | m$>\frac{1}{2}$ | B. | m$<\frac{1}{2}$ | C. | 0≤m$<\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}<m≤1$ |