题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为e=
2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P的坐标为(2,
3
),且F2在线段PF1的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如果圆E:(x-
1
2
2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.
(1)椭圆C的离心率e=
2
2
,得
c
a
=
2
2

其中c=
a2-b2
,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又点F2在线段PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=(
3
)2+(2-c)2

解得c=1,a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1

(2)设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,
x20
2
+
y20
=1
|PE|=
(
x0
-
1
2
)
2
+
y20
,∵
y20
=1-
x20
2

|PE|=
(
x0
-
1
2
)
2
+1-
x20
2
=
1
2
x20
-
x0
+
5
4
-
2
x0
2
).
当x0=1时,|PE|min=
1
2
-1+
5
4
=
3
2

∴半径r的最大值为
3
2
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