Question

【题目】已知函数 ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

∴f（x）是奇函数

（2）解：f（x）在[2，+∞）单调递增，证明如下：

证法一：

设2≤x1＜x2，

∴ ，

∵x2＞x1，且x1x2＞4，

∴

∴f（x1）＜f（x2），

即证f（x）在（2，+∞）上单调递增

证法二：

∵ ，

当x∈[2，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，

即f（x）在（2，+∞）上单调递增

【解析】（1）由 ，可得f（x）是奇函数；（2）f（x）在[2，+∞）单调递增，证法一：作差，利用单调性的定义可证明；证法二：求导，可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．