题目内容
【题目】已知椭圆的焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆的左顶点,直线,分别与直线相交于点,.求证:以为直径的圆恒过点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)易知椭圆中,结合,可求出椭圆的方程;
(2)结合由(1),可设直线的方程为,与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,设,,可表示出直线的方程,进而得到点的坐标,同理可得点的坐标,然后得到的表达式,结合韦达定理可证明,即,即以为直径的圆恒过点.
(1)由题意,椭圆中,所以,
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知,,设直线的方程为,
联立,可得,
显然恒成立,
设,,则,
易知直线的斜率存在,,则直线的方程为,
所以,即,同理可得,
则,
所以,
所以,即以为直径的圆恒过点.
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