题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3﹣ax,g(x)= x2﹣lnx﹣
.
(1)若f(x)和g(x)在同一点处有相同的极值,求实数a的值;
(2)对于一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2xg(x)﹣x2+5x﹣3恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设G(x)= x2﹣
﹣g(x),求证:G(x)>
﹣
.
【答案】
(1)解:∵g′(x)=x﹣ =
,∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,则g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)单调递增.∴g(x)极小值=g(1)=﹣2
又∵f(x)和g(x)在同一点处有相同的极值,
∴f(1)=1﹣a=﹣2,即a=3
(2)解:若使对于一切x∈(0,+∞),不等式f(x)≥2xg(x)﹣x2+5x﹣3恒成立,则只需使得不等式 恒成立,即只需
设 ,则
,
∴当x∈(0,1)时,t'(x)<0,则t(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,t'(x)>0,则t(x)单调递增.
∴t(x)最小值=t(1)=4,
∴a≤4,即a的取值范围为(﹣∞,4]
(3)解:若证 ,则只需证明
,即证
设m(x)=xlnx,则m'(x)=lnx+1,由于m(x)在 单调递减,在
单调递增,所以
;设
,则
,由于n(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,所以
.
所以m(x)≥n(x)又由于m(x)与n(x)不在同一个变量时取得最值,即m(x)>n(x)
综上所述,
【解析】(1)求出函数的导数,判断导函数的符号,求出函数的极小值,然后列出方程求解a 即可.(2)使对于一切x∈(0,+∞),不等式f(x)≥2xg(x)﹣x2+5x﹣3恒成立,转化为 恒成立,只需
,构造函数,利用函数的导数求解函数的最小值,推出a的范围即可.(3)若证
,则只需证明
,即证
,构造函数设m(x)=xlnx,利用函数的单调性求解函数的极值,推出结果即可.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为 .
(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;
(Ⅱ)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(Ⅲ)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ,求ξ的分布列,数学期望以及方差;大气污染会引起各种疾病,试浅谈日常生活中如何减少大气污染.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式K2= 其中n=a+b+c+d)