题目内容

【题目】已知函数f(x)=eax(a≠0).
(1)当 时,令 (x>0),求函数g(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
(2)若对于一切x∈R,f(x)﹣x﹣1≥0恒成立,求a的取值集合;
(3)求证:

【答案】
(1)解:当a= 时,g(x)= ,则g'(x)=

﹣1>0,即x>2时,g'(x)>0;

﹣1<0且x≠0,即x<2或0<x<2时,g'(x)<0.

则g(x)的增区间为(2,+∞),减区间为(﹣∞,0),(0,2).

因为m>0,所以m+1>1,

①当m+1≤2,即0<m≤1时,g(x)在[m,m+1]上单调递减,

所以g(x)min=g(m+1)=

②当m<2<m+1,即1<m<2时,g(x)在[m,2]上单调递减,

在[2,m+1]上单调递增,所以g(x)min=g(2)=

③当m≥2时,g(x)在[m,m+1]上单调递增,所以g(x)min=g(m)=

综上,g(x)min=


(2)解:设h(x)=f(x)﹣x﹣1=eax﹣x﹣1

若a<0,则对一切x>0,h(x)<0这与题设矛盾.

又a≠0,故a>0.而h'(x)=aeax﹣1,令h'(x)=0,得x=

当x< 时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x> 时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

故当x= 时,h(x)取最小值 ﹣1.

于是对一切x∈R,h(x)≥0恒成立,当且仅当 ﹣1≥0①

令φ(x)=t﹣tlnt﹣1,则φ'(x)=﹣lnt

当0<t<1时,φ'(t)>0,φ(t)单调递增;

当t>1时,φ'(t)<0,φ(t)单调递减,

故当t=1时,φ(t)取最大值φ(1)=0,

因此,当且仅当 =1,即a=1时,①式成立.

综上所述,a的取值集合为{1}


(3)证明:由(2)可知,当x>0时,g(x)=

所以 (x>0),

可得

于是 +

=


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的表达式,求出函数的单调区间,通过讨论m的范围求出函数的最小值即可;(2)设h(x)=f(x)﹣x﹣1=eax﹣x﹣1,求出a>0,解根据导函数的不等式,求出函数的单调区间,得到当且仅当 ﹣1≥0①令φ(x)=t﹣tlnt﹣1,根据函数的单调性求出a的范围即可;(3)由g(x)= ,可得 ,根据不等式的性质证明即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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