题目内容
【题目】已知集合
，集合
是集合S的一个含有8个元素的子集.
（1）当
时，设
，
①写出方程
的解（
）；
②若方程
至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程
至少有三组不同的解.
【答案】（1）①
②4，6.（2）证明见详解.
【解析】
（1）①根据两个元素之差为3，结合集合
的元素，即可求得；
②根据题意要求，写出集合X中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得
；
（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可.
（1）①方程
的解有：.
②以下规定两数的差均为正，则：
列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1；
中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4；
中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6；
中间相隔三数的两数差：10,11,11,10；
中间相隔四数的两数差：12,14,12；
中间相隔五数的两数差：15,15；
中间相隔六数的两数差：16.
这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，
所以k的可能取值有4，6.
（2）证明：不妨设
，记
，
，共13个差数.假设不存在满足条件的k，
则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，
从而
①
又
，这与①矛盾.
故假设不成立，结论成立.
即对任意一个X，存在正整数k，使得方程
至少有三组不同的解.
【题目】某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中
的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.
拥有驾驶证 | 没有驾驶证 | 合计 | |
得分优秀 | |||
得分不优秀 | 25 | ||
合计 | 100 |
（1）补全上面
的列联表，并判断能否有超过
的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？
（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.
附表及公式：
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
