题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)是否存在,
,使得函数
在区间
的最小值为
且最大值为
?若存在,求出
,
的所有值;若不存在,请说明理由.
参考数据:.
【答案】(1)见解析;
(2)存在,当且
时,或当
且
时,可以使得函数
在区间
的最小值为
且最大值为
【解析】
(1)首先求函数的导数,设
,
,再求
恒成立,说明
是单调递增函数,然后讨论
的范围,确定函数的单调区间;(2)根据(1)讨论的函数的单调性,当
和
时函数是单调函数,易判断,当
时,令
,
,根据其单调性,可判断
,当
时,
,当
时,
,因为
,所以
,
,
,与条件矛盾,所以这种情况下不存在.
(1),
令,
,
则,则
在
上单调递增,
①.若,则
,则
,则
在
上单调递增;
②.若,则
,则
,则
在
上单调递减;
③.若,则
,
,又
在
上单调递增,
结合零点存在性定理知:存在唯一实数,使得
,
当时,
,则
,则
在
上单调递减,
当时,
,则
,则
在
上单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递减;
当时,存在唯一实数
,使得
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由(1)可知,
①.若,则
,则
,
而,解得
满足题意;
②.若,则
,则
,
而,解得
满足题意:
③.若,令
,
,
则,故
在
上单调递减,所以
,
令,
,由(1)知
;
令,
,由(1)知
;
因为,
,且
,
所以,则
,
,
故,故对任意
,
不存在实数能使函数
在区间
的最小值为
且最大值为
;
综上,当且
时,或当
且
时,
可以使得函数在区间
的最小值为
且最大值为
.
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