题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(2)若对于任意都有
成立,试求
的取值范围;
(3)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围。
【答案】(1)单调增区间是,单调减区间是
.(2)
(3)
【解析】
(1)先由导数的几何意义求得a,在定义域内,再求出导数大于0的区间,即为函数的增区间,求出导数小于0的区间即为函数的减区间.
(2)根据函数的单调区间求出函数的最小值,要使f(x)>2(a﹣1)恒成立,需使函数的最小值大于2(a﹣1),从而求得a的取值范围.
(3)利用导数的符号求出单调区间,再根据函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,得到, 解出实数b的取值范围.
(1)直线的斜率为1, 函数
)的定义域为
.
因为,所以
,所以
,
所以,
.
由解得
;由
解得
.
所以得单调增区间是
,单调减区间是
.
(2)由
解得
;由
解得
.
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以当时,函数
取得最小值
.
因为对于任意都有
成立,
所以即可.
则,
即,解得
,
所以得取值范围是
.
(3)依题意得,则
,
由解得
,由
解得
.
所以函数在区间
上有两个零点,
所以,解得
.
所以的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂有两个车间生产同一种产品,第一车间有工人200人,第二车间有工人400人,为比较两个车间工人的生产效率,采用分层抽样的方法抽取工人,并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位:min)分别进行统计,得到下列统计图表(按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分组).
分组 | 频数 |
[55,65) | 2 |
[65,75) | 4 |
[75,85) | 10 |
[85,95] | 4 |
合计 | 20 |
第一车间样本频数分布表
(Ⅰ)分别估计两个车间工人中,生产一件产品时间小于75min的人数;
(Ⅱ)分别估计两车间工人生产时间的平均值,并推测哪个车间工人的生产效率更高?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(Ⅲ)从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中,随机抽取3人,记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
【题目】有一片产量很大的水果种植园,在临近成熟时随机摘下某品种水果100个,其质量(均在l至11kg)频数分布表如下(单位: kg):
分组 | | | | | |
频数 | 10 | 15 | 45 | 20 | 10 |
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值,将频率视为概率.
(1)由种植经验认为,种植园内的水果质量近似服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
近似为样本方差
.请估算该种植园内水果质量在
内的百分比;
(2)现在从质量为 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果,再从这14个水果中随机抽取3个.若水果质量
的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元,4元,6元,记随机抽取的3个水果总利润为
元,求
的分布列及数学期望.
附:
,则
.