Question

设椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

<e<1.

设椭圆方程为+=1(a>b>0),A为右顶点(a,0)、P(x₀,y₀),
∵PO⊥PA,
∴·=-1,即y₀²=ax₀-x₀².
又+=1,
∴(a²-b²)x₀²-a³x₀+a²b²=0,(x₀-a)［(a²-b²)x₀-ab²］=0.
又0<x₀<a,∴x₀=,且0<<a.而b²=a²-c²,
∴0<<1.
∴0<-1<1.
∴<e<1.