Question

1．已知sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的两实根．求：
（1）m的值；
（2）当α∈（0，π）时，求cot（3π-α）的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理表示出sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
（2）当α∈（0，π）时，判断角的范围，利用（1）的结果求出tanα，然后利用诱导公式求cot（3π-α）的值即可．
（3）利用（1）的结果化简求解即可．

解答 解：（1）∵sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的两实根，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，
∵（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，
∴$\frac{1}{25}$=1+$\frac{2m}{5}$，
解得：m=-$\frac{12}{5}$．
（2）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；α是钝角，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，解得tanα=-$\frac{4}{3}$．
当α∈（0，π）时，cot（3π-α）=-cotα=$\frac{3}{4}$．
（3）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；
sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=$\frac{1}{5}×（1+\frac{12}{25}）$=$\frac{37}{125}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．