Question

9．定义域为R的连续函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数满足（x-2）•f′（x）＞0，则有（　　）

• A． f（sinx）＜f（1+sinx）＜f（5^2+sinx）
• B． f（5^2+sinx）＜f（sinx）＜f（1+sinx）
• C． f（1+sinx）＜f（sinx）≤f（5^2+sinx）
• D． f（1+sinx）＜f（5^2+sinx）≤f（sinx）

Answer 1

分析 由题意知函数f（x）的图象在R上关于x=2对称，再由导数判断函数的单调性，从而由单调性比较大小．

解答 解：∵函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）的图象在R上关于x=2对称，
又∵（x-2）•f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
∵sinx，1+sinx∈（-∞，2]，且sinx＜1+sinx，
故f（1+sinx）＜f（sinx），
又∵|sinx-2|≤|5^2+sinx-2|（当且仅当sinx=-1时，等号成立）；
∴f（sinx）≤f（5^2+sinx），
∴f（1+sinx）＜f（sinx）≤f（5^2+sinx），
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的判断与应用．