Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面

为侧棱的中点，且.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接.

为侧棱的中点， .，再证四边形为平行四边形，则.故平面平面.平面平面.

（2）解：过点作于平面平面平面.

.

取的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，

求出相应点的坐标和相应向量的坐标，求出平面的法向量及平面的一个法向量，再根据二面角为钝角，可得二面角的余弦值为.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接.

为侧棱的中点， .

四边形为平行四边形，则.

平面平面.

平面平面.

（2）解：过点作于平面平面平面.

.

取的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，

则.

.

设为平面的法向量.

则

取，则.

易证平面，则为平面的一个法向量.

，

由图可知，二面角为钝角.

二面角的余弦值为.