题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，且与抛物线
交于
，
两点，
（
为坐标原点）的面积为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点
为椭圆上一动点（非长轴端点）
，
为左、右焦点，
的延长线与椭圆交于
点，
的延长线与椭圆交于点，求
面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.
（1）椭圆
与抛物线
交于
，
两点，
可设
，
，
∵
的面积为
，
∴
，解得
，∴
，
，
由已知得
，解得
，
，
，
∴椭圆
的方程为.
（2）①当直线
的斜率不存在时，不妨取
，
，
，故
；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
，
，
联立方程
，化简得
，
则
，
，
，
，
点
到直线
的距离
，
因为是线段
的中点，所以点到直线的距离为
，
∴
∵
，又
，所以等号不成立.
∴
，
综上，
面积的最大值为.
练习册系列答案
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【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 | 频数 | 频率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 25 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．