题目内容
【题目】已知函数
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数的极值;
(2)设函数.当
=
时,若区间[1,e]上存在x0,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
【答案】(1)极小值为;(2)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,计算的值,求出
,从而求出
的单调区间,求出函数的极值即可;(2)令
,根据函数的单调性求出
的最小值,从而求出
的范围即可.
试题解析:(1)(
),因为曲线
在点(1,f(1))处的切线与直线
垂直,所以
,即
,解得
.所以
, ∴当
时,
,
在
上单调递减;当
时,
,f(x)在(2,+∞)上单调递增;∴当x=2时,f(x)取得极小值
,∴f(x)极小值为ln2.
(2)令,则
,欲使在区间上
上存在
,使得
,只需在区间
上
的最小值小于零.令
得,
或
.当
,即
时,
在
上单调递减,则
的最小值为
,∴
,解得
,∵
,∴
;当
,即
时,
在
上单调递增,则
的最小值为
,∴
,解得
,∴
;当
,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,则
的最小值为
,∵
,∴
,∴
,此时
不成立.综上所述,实数m的取值范围为

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