题目内容

如图：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB= $数学公式$ =a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-AEF的体积．

解：（Ⅰ）∵BE：CF=1：2
∴DC=2BD，∴DB=BC，
∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=120°，∴∠BAD=30°，
∴∠CAD=90°，
∵FC⊥面ACD，
∴CA是FA在面ACD上射影，
且CA⊥AD，∵FA∩AC=A，
DA⊥面ACF，DA?面ADF
∴面ADF⊥面ACF．
（Ⅱ）解：∵ $\text{[math]}$ ．
在面A₁B₁C₁内作B₁G⊥A₁C₁，垂足为G．
B₁G= $\text{[math]}$
面A₁B₁C₁⊥面A₁C
∵B₁G⊥面A₁C，
∵E∈BB₁，而BB₁∥面A₁C，
∴三棱柱E-AA₁F的高为B₁G= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =AA₁• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）欲证面ADF⊥面ACF，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADF内一直线与平面ACF垂直，根据题意易证CA⊥AD，而FC⊥面ACD，则CA是FA在面ACD上射影，FA∩AC=A，满足线面垂直的判定定理，则DA⊥面ACF，而DA?面ADF，满足面面垂直的判定定理．
（Ⅱ）先根据 $\text{[math]}$ 将所求的体积进行转化，在面A₁B₁C₁内作B₁G⊥A₁C₁，垂足为G，求出B₁G，然后利用体积公式进行求解即可．
点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．