题目内容
【题目】设函数,,其中.
(1)若是关于的不等式的解,求的取值范围;
(2)求函数在上的最小值;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;
(4)当时,令,试研究函数的单调性,求在该区间上的最小值.
【答案】(1);(2) ;(3) ;(4)在单调递减,在单调递增;最小值为,
【解析】
(1)在不等式中令,则可以得到关于的不等式,其解即为的取值范围.
(2)就是、分类讨论函数的单调性后可求在上的最小值.
(3)由可得实数的取值范围.
(4)设任意,考虑的符号后可得的单调性,从而可求的最小值.
(1)由题设有,故,故.
(2)若,
设任意的,则,
因为,故,,
所以即,所以为上的减函数,
故的最小值为.
若,则
设任意的,则,
因为,故,,
所以即,所以为上的减函数,
同理可证:为上的增函数.
所以的最小值为,
故.
(3)因为对任意的,不等式恒成立,
故.
由(2)可知:当时,由,当时,由,
所以或即(无解)或,
故.
(4)若,则,
设任意的,则,
因为,故,,
所以即,所以为上的减函数,
同理可证为上的增函数,
所以在上的最小值为.
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