Question

7．已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别为AB，BC的中点，且AE∩CD=F，点H为边AC上的一点，且$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AC}$（0＜λ＜1），当$\overrightarrow{HF}$•$\overrightarrow{HD}$=1时，实数λ=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意把$\overrightarrow{HF}$、$\overrightarrow{HD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开数量积可得关于λ的方程，则答案可求．

解答 解：如图，

由题意可知，F为三角形ABC的重心，
$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}-λ\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$-λ\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}-λ）\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-λ\overrightarrow{AC}$，
由$\overrightarrow{HF}$•$\overrightarrow{HD}$=$[\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}-λ）\overrightarrow{AC}]•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-λ\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-λ（\frac{1}{3}-λ）|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$+（\frac{1}{6}-\frac{5}{6}λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1，得
$\frac{1}{6}×4-4λ（\frac{1}{3}-λ）+$$（\frac{1}{6}-\frac{5}{6}λ）×2=1$，整理得：4λ²-3λ=0，
∵0＜λ＜1，∴$λ=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量的加减法，是中档题．