Question

四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．E为BC的中点．
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？
（3）若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间坐标系，分别求出各点的坐标，进而求出直线NE与AM的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．；
（2）连接PB，交AN与S，连接SE，则易得S为PB的中点，又由E为BC的中点，由三角形中位线的性质，结合ES⊥平面AMN，易得线段AN上存在一点S为AN的中点，满足ES⊥平面AMN
（3）由（2）的结论，我们易求出S点的坐标，代入空间中两点之间距离公式，即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，

解答：解：∵MD⊥平面ABCD，则MD⊥DA，MD⊥DC，
又∵底面ABCD为正方形，∴DA⊥DC，
故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系．
则各点的坐标D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E，（

1

2

，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），

（1）∴

NE

=（-

1

2

，0，-1），

AM

=（-1，0，1）
设异面直线NE与AM所成角为θ
则cosθ=|

NE • AM

| NE |•| AM |

|=

1 2

5 2 • 2

=

10

10

故异面直线NE与AM所成角的余弦值为

10

10

（2）由正方体的几何特征，我们易得PC⊥平面AMN
连接PB，交AN与S，连接SE，则易得S为PB的中点，又由E为BC的中点
则SE∥PC
∴ES⊥平面AMN
即线段AN上存在一点S为AN的中点，满足ES⊥平面AMN
（3）由（2）得，S的坐标为（1，

1

2

，

1

2

）
则线段AS的长d=

1

2

AN=

2

2

点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．另外熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．