Question

（2011•潍坊二模）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=

2

3

．
（I）求证：QP∥平面AMD；
（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．

Answer 1

分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，又已知

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，可得

QB

QA

=

BP

PM

，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．
（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A-MNBD的高，进而得到V_A-MNBD的体积．即可得出V_{几何体ABCDMN}=2V_A-MNBD．

解答：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB．
∴

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，又

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，
∴

QB

QA

=

BP

PM

，
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，
∴AC⊥平面MNBD．
∴AO为四棱锥A-MNBD的高，又SMNBD=

1

2

×(1+2)×2

2

=3

2

．
∴VA-MNBD=

1

3

×3

2

×

2

=2．
∴V_{几何体ABCDMN}=2V_A-MNBD=4．

点评：熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．